LONGITUD DE UN ARCO

 

LONGITUD DE UN ARCO

1.- Este tema es aun mas complicado y largo la verdad espero comprenderlo mucho mas ya que se vienen mas operaciones con mayor dificultad.

2.-                           LONGITUD DE UN ARCO

PLANTEAMIENTO

 

Se expone el concepto de longitud de arco y como calcularla a través de la integral.

 

 

LONGITUD DE ARCO

 

La longitud de arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Las primeras mediciones se hicieron posibles a través de aproximaciones trazando un polígono dentro de la curva y calculando la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor.

 

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible, como lo muestra la siguiente figura:

Longitud de arco de la curva y = f(x)

En las aplicaciones anteriores de la integración, necesitamos que la función f(x)$𝑓(𝑥)$ fuera integrable o como máximo, continua. Sin embargo, para calcular la longitud del arco se nos presenta un requisito más estricto para f(x).$𝑓(𝑥).$ En este caso, necesitamos que f(x)$𝑓(𝑥)$ sea diferenciable, y además requerimos que su derivada, f′(x),${𝑓}^{\prime }(𝑥),$ sea continua. Las funciones como esta, que tienen derivadas continuas, se denominan suaves. (Esta propiedad volverá a aparecer en capítulos posteriores).

Supongamos que f(x)$𝑓(𝑥)$ es una función suave definida sobre [a,b].$\left[𝑎,𝑏\right].$ Queremos calcular la longitud de la curva desde el punto (a,f(a))$\left(𝑎,𝑓(𝑎)\right)$ al punto (b,f(b)).$\left(𝑏,𝑓(𝑏)\right).$ Comenzamos utilizando segmentos de línea para aproximar la longitud de la curva. Para i=0,1,2,…,n,$𝑖=0,1,2\text{,…},𝑛,$ supongamos que P={xi}$𝑃=\left\{{𝑥}_{𝑖}\right\}$ es una partición regular de [a,b].$\left[𝑎,𝑏\right].$ Luego, para i=1,2,…,n,$𝑖=1,2\text{,…},𝑛,$ construya un segmento lineal desde el punto (xi−1,f(xi−1))$\left({𝑥}_{𝑖-1},𝑓({𝑥}_{𝑖-1})\right)$ al punto (xi,f(xi)).$\left({𝑥}_{𝑖},𝑓({𝑥}_{𝑖})\right).$ Aunque podría parecer lógico utilizar segmentos de línea horizontales o verticales, queremos que nuestros segmentos de línea que se aproximen a la curva lo más posible.

EJEMPLO:

Cálculo de la longitud de arco de una función de x

Supongamos que f(x)=2x3/2.$𝑓(𝑥)=2{𝑥}^{3\text{/}2}.$ Calcule la longitud de arco del gráfico de f(x)$𝑓(𝑥)$ en el intervalo [0,1].$\left[0,1\right].$ Redondee la respuesta a tres decimales.

Solución

Tenemos f′(x)=3x1/2,${𝑓}^{\prime }(𝑥)=3{𝑥}^{1\text{/}2},$ por lo que [f′(x)]2=9x.${\left[{𝑓}^{\prime }(𝑥)\right]}^2=9𝑥.$ Entonces, la longitud de arco es

$$\begin{array}{cc}\hfill \text{Longitud de arco}& ={\displaystyle {\int }_{𝑎}^{𝑏}\sqrt{1+{\left[{𝑓}^{\prime }(𝑥)\right]}^2}}𝑑𝑥\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{1+9𝑥}}𝑑𝑥.\hfill \end{array}$$

Sustituya u=1+9x.$𝑢=1+9𝑥.$ Entonces, du=9dx.$𝑑𝑢=9𝑑𝑥.$ Cuando x=0,$𝑥=0,$ entonces u=1,$𝑢=1,$ y cuando x=1,$𝑥=1,$ entonces u=10.$𝑢=10.$ Por lo tanto,

3.- IMAGENES:

4.- VIDEOS SOBRE EL TEMA 

5. FUENTES DE INFORMACION:

Longitud de Arco de una Curva (unam.mx)