SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN- MÉTODO DE DISCOS Y ARANDELAS

MÉTODO DE DISCOS Y ARANDELA

1.- Buenos dias profe o tardes dependiendo a que hora mire el diario , este tema lo siento mas complicado me gustaria que nos explicara mas a detalle el tema en clase ya que si hay mas dudas y ser paciente con migo o nosotros jejeje pero si le entendi un poco al tema :)

2.-Método de díscos

Si una región del plano, se hace girar al rededor de un eje paralelo al eje $x$ , de tal forma que se genera un sólido de revolución cuyas secciones transversales perpendiculares al eje de rotación, son discos con centro en el eje de revolución. Entonces el volumen del sólido esta dado por

$V=\int_{a}^{b} \pi R^2 dx$

donde $R$ es el radio del disco expresado en términos de la variable de integración.

Método de anillos

Si una región del plano, se hace girar al rededor de un eje paralelo al eje $x$ , de tal forma que se genera un sólido de revolución cuyas secciones transversales, perpendiculares al eje de rotación, son anillos con centro en el eje de revolución. Entonces el volumen del sólido esta dado por

$V=\int_{a}^{b} \pi (R^2-r^2) dx$

donde $R$ es el radio del disco exterior y $r$ es el radio del disco interior expresados en términos de la variable de integración.

Sugerencias para calcular volúmenes por el método de discos o arandelas

Haga un dibujo de la región que se va a rotar al rededor de un eje.
Dibuje el eje de rotación. Si el eje de rotación es paralelo al eje “x”, la variable de integración es “x”. Si el eje de rotación es paralelo al eje “y”, la variable de integración es “y”.
identifique si el sólido de revolución está formado por discos o por anillos y escriba la fórmula correspondiente.
Según sea el caso, escriba R y r, en términos de la variable de integración. para hacer esto hay que obtener la diferencia entre una función y la función del eje de rotación, o esta diferencia al revés, de tal forma que el radio sea positivo.
Calcule la integral utilizando los mismos límites de integración que se utilizarían para calcular el área de la región que se va a rotar.

ejemplo sobre el metodo de discos y arandelas:

1.- Encuentre volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor de la recta y = 4 , la región limitada por la parábola y =x  , la recta y = 4 y el eje y. Utilice el método de discos o anillos.

SOLUCION DEL PROBLEMA:

Primero se dibuja la región del plano que se va a girar, el eje de rotación y un elemento diferencial de área perpendicular al eje de rotación. En la misma figura se indica el radio del disco que se genera al rotar la región alrededor de la recta y  4

En la siguiente figura se muestra un dibujo aproximado del sólido de revolución, se dibuja también un elemento diferencial que tiene la forma de un disco