LIMITES TRIGONOMETRICOS

En la clase del día sábado aprendimos sobre los límites TRIGONOMETRICOS la verdad se miraban algo complicados pero cuando el profesor nos puso hacer ejercicio me di cuenta que no estaban tan complicados, el profe nos dejó a qué repasaremos y anotamos todo lo que creíamos más importante para el examen de este sábado así que aver como nos va 😐

Límites TRIGONOMETRICOS :

El cálculo de límites trigonométricos, se pueden hacer mediante la evaluación directa. Sin embargo, si la expresión trigonométrica se indefine, es necesario factorizar, racionalizar, o bien, en algunos casos se requiere aplicar las propiedades trigonométricas básicas desarrolladas en el curso Matemática General.

Para el cálculo de límites trigonométricos, existe un teorema de gran utilidad:

teorema

El teorema anterior se puede generalizar de la siguiente manera:

Teorema 2

Límites de funciones trigonométricas

Límites trigonométricos

Recordamos que el límite $L$ de cualquier función $y = f ( x )$, las trigonométricas entre ellas, cuando $x$ tiende a un valor $a$, es el valor al que la $y$ o función se acerca ( o toma) cuando la $x$ toma valores muy cerca de $a$ sin coincidir nunca con ese valor de $a$.

$$\underset{x\to a}{\lim}f(x)=L$$ La función debe estar definida en un intervalo abierto que contenga a $a$ excepto, posiblemente, en ese valor $a$.

De acuerdo con la definición de las funciones $seno$ y $coseno$, como la ordenada y la abscisa de un punto $P$ que se mueve en una circunferencia unitaria en un sistema de ejes coordinados, determinando el ángulo $x$ en cada posición; intuitivamente podemos establecer que: $$\underset{x\to a}{\lim}sen(x)=sen(a) \; \; \; y\; \; \; \underset{x\to a}{\lim}cos(x)=cos(a)$$ para todo valor de $a$ en los reales, ya que son funciones definidas en todos los reales y para un pequeño cambio en la posición de $P$ se dará un pequeño cambio en los valores de $x$ (el ángulo), el $sen \;x$ (ordenada de $P$) y el $cos\; x$ (abscisa de $P$), y entonces el valor del límite coincidirá con el de la imagen. Las funciones seno y coseno son continuas en todo su dominio que es todos los reales.

Pero $\underset{x\to \infty}{\lim}sen(x)=No\;existe$ y $\underset{x\to \infty}{\lim}cos(x)=No\;existe$ ya que las dos funciones son periódicas, están variando entre menos uno y uno.

Las funciones seno y coseno no tienen iguales horizontales ni verticales.

Hay dos límites importantes que involucran al seno y el coseno y que nos servirán para obtener otros límites y principalmente sus derivadas.

Inicialmente son indeterminados de la forma cero sobre cero:

$$\underset{x\to 0}{\lim}\frac{sen(x)}{x}:\frac{0}{0}:\; indeterminado $$ y $$\underset{x\to 0}{\lim}\frac{cos(x)-1}{x}:\frac{0}{0}:\; indeterminado $$ El primero puede demostrarse geométricamente. Loemos comprobar aritméticamente:

Es importante señalar que la función seno debe calcularse para $x$ en radianes, ya que $x$ es un número real sin unidades específicas y sin grados.

Basándonos en el primer límite se puede obtener el segundo como sigue:

$\underset{x \to 0}{\lim}\frac{cos(x)-1}{x}.\frac{cos(x)+1} {cos(x)+1}=\underset{x \to 0}{\lim}\frac{cos^2(x)-1}{x(cos(x)+1)}=\underset{x \ a 0}{\lim}\frac{-sen^2(x)}{x(cos(x)+1)}=-\underset{x \to 0}{\lim}\frac{sen(x) }{x}.\frac{sen(x)}{(cos(x)+1)}=-1.\frac{0}{1+1}=0.$ $$Así:\; \underset{x \to 0}{\lim}\frac{cos(x)-1}{x}=0.$$

Ejemplo 1

Calculadora:

$$\underset{x \to 0 }{\lim}\frac{sen(3x)}{5x}$$

$$L=\underset{x \to 0 }{\lim}\frac{sen( 3x)}{5x}:\frac{sen(0)}{5\cdot (0)}=\frac{0}{0}:\;indet.$$ $$L=\underset{x \to 0 }{\lim}\;\frac{3}{5}\;\left(\frac{sen(3x)}{3x}\right)=\frac{3}{5}(1)=\frac{ 3}{5}.$$ Ya que: $\underset{u \to 0 }{\lim}\frac{sen(u)}{u}=1.$

Ejemplo 2

Calculadora:

$$\underset{x \to 0 }{\lim}\frac{5x\cdot cot(3x)}{2sec(x)}$$

$$L=\underset{x \to 0 }{\lim }\frac{5x \cdot \frac{cos(3x)}{sen(3x)}}{2\cdot \frac{1}{cos(x)}}=\underset{x \to 0 }{\lim }\frac{5x\cdot cos(3x)\cdot cos(x)}{2sen(3x)}:\frac{0(1)(1)}{2(0)}=\frac{0}{0 }:\;indet.$$ $$L=\underset{x \to 0}{\lim}\frac{5x\cdot cos(3x)\cdot cos(x)}{2\cdot\frac{sen( 3x)}{3x}\cdot 3x}=\underset{x \to 0}{\lim}\frac{5cos(3x)\cdot cos(x)}{6\cdot \frac{sen(3x)}{ 3x}}=\frac{5(1)(1)}{6(1)}=\frac{5}{6}.$$

Ejemplo 3

Calculadora:

$$\underset{θ \to 0 }{\lim}\frac{3θ^2-6 tan(2θ)}{3θ}$$ $$

L=\underset{θ \to 0 }{\lim} \frac{3θ^2-6\cdot \frac{sen(2θ) }{cos(2θ)}}{3θ}:\frac{3\cdot 0^2-6\cdot (\frac{0}{1 })}{3 \cdot 0}=\frac{0}{0}:\;indet.$$ $$L=\underset{θ \to 0 }{\lim}\left(\frac{3θ^2 }{3θ}-\frac{6sen(2θ)}{3θ\cdot cos(2θ)}\right)=\underset{ θ \to 0}{\lim}θ-\underset{ θ \to 0}{\ lim}\frac{4sen(2θ)}{2θ\cdot cos(2θ)}$$ $$L=0-4\cdot \underset{ θ \to 0}{\lim}\frac{sen(2θ)} {2θ}\cdot \underset{ θ \to 0}{\lim}\frac{1}{ cos(2θ)}=0-(4) (1)(1)=-4.$$

Ejemplo 4

Calculadora:

$$\underset{t \to 1}{\lim}(3t^2-3)csc(4t-4)$$

$$L=\underset{t \to 1}{\lim}(3t^ 2-3)\;\left(\frac{1}{sen(4t-4)}\right):\frac{0}{0}:\;indet.$$ $$L=\underset{t \ a 1}{\lim}\frac{3(t-1)(t+1)}{\frac{sen(4t-4)}{4t-4}(4t-4)}=\underset{t \ a 1}{\lim}\frac{3(t-1)(t+1)}{4(t-1)\left(\frac{sen(4t-4)}{4t-4}\right) }=\frac{3(2)}{4(1)}=\frac{3}{2}.$$ Nótese que tomando $u=4t-4 , $ cuando $t → 1$ , $u → 0 $ y se tiene que $\underset{u \to 0 }{\lim}\frac{sen(u)}{u}=1.$

Imágenes: